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Ecuación
de Movimiento del Péndulo Simple Se obtendrá la ecuación de movimiento del péndulo simple,
aplicando el modelado de la mecánica clásica conocido como Ecuación de
Euler-Lagrange. |
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Péndulo simple. Definición. El péndulo
simple es una idealización que consiste en considerar que en un punto de
apoyo se coloca el extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable,
en el otro extremo de la cuerda se ubica un objeto de masa m, de forma que al
orientar la cuerda en una dirección fuera de la vertical y al soltar el
objeto se produce un movimiento pendular tipo vaivén ocasionado por el efecto
gravitatorio. |
Fig. 1
Elementos del péndulo simple. |
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Fig.2
Movimiento pendular tipo vaivén. |
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La ecuación
de Euler-Lagrange indica:
Donde
L, se define en general como el Lagrangiano del Sistema, y q se le conoce como
el vector de coordenadas generalizadas (grado de libertad). Así
mismo, el Lagrangiano del sistema se determina restando a la energía cinética
de los cuerpos rígidos que componen el sistema la energía potencial de los
cuerpos rígidos que forman el sistema mecánico. Esto es
Donde
i se refiere al cuerpo rígido i-ésimo que forma parte del sistema mecánico, y
n el número total de cuerpos rígidos que conforman el sistema mecánico. Para
el caso que nos ocupa, únicamente se tiene un grado de libertad. |
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Análisis energético.
Fig.3
Parámetros del péndulo simple. |
Consideraciones: · La masa
del objeto se concentra en un punto (centro de gravedad). · El
objeto se considera una partícula. · No hay
pérdidas energéticas de ningún tipo. · El
centro de gravedad describe una trayectoria semi- circular. Bajo estas
consideraciones es posible plantear la ecuación de equilibrio energético con
base en el principio de conservación de energía. |
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Energía cinética (Ec). Es la energía mecánica derivada del movimiento de la
partícula, tomando como base la velocidad lineal de la partícula (v),
considerando que la cuerda tiene una longitud l, su
ecuación fundamental es:
Energía potencia (Ep). Es la
energía mecánica derivada por la altura potencial de un objeto, ocasionada
por el efecto gravitatorio. Para el caso del péndulo simple, se considera la altura
medida con respecto al punto más bajo de la partícula (posición vertical de
la cuerda). |
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La ecuación fundamental de la energía potencial resulta
ser:
Donde: m - es la masa de la partícula
[kg]. l - la longitud de la cuerda
[m]. θ - el ángulo del
péndulo con respecto a la vertical [rad]. |
Fig. 4 Altura potencial del péndulo. |
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De esta forma, la ecuación del Lagrangiana del sistema
queda definida como:
De
esta forma, resulta:
Así
mismo,
Considerando que las oscilaciones del ángulo θ
son sobre un ángulo pequeño, la ecuación anterior se simplifica como:
Tomando en cuenta que la oscilación del
péndulo puede ser modelada mediante una función periódica tipo cosenoidal, y
considerando un ángulo inicial θ0 , la función paramétrica del
ángulo puede ser representada como:
Siendo w la velocidad angular de la función periódica.
Derivando esta última ecuación, resulta:
Derivando nuevamente, tenemos que:
Sustituyendo (14) y (12) en (11):
Simplificando, se obtiene que la velocidad
angular resulta ser:
Veamos ahora, de acuerdo a la consideración
que se efectuó con relación a ángulos pequeños, que la aproximación será
suficientemente buena, si el error porcentual es menor al 5%.
Por lo que podemos considerar que el ángulo
inicial deberá tener la restricción de θ0 ≤ 30 [°]. |
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