Péndulo compuesto.

Definición.

El péndulo compuesto es una idealización que consiste en considerar uno o varios cuerpos rígidos unidos de forma permanente, de forma que el giro del cuerpo rígido se produce por efecto de la gravedad cuando el centro de gravedad del cuerpo rígido se encuentra orientado en un ángulo diferente a la vertical y el cuerpo rígido se suelta, propiciando el movimiento pendular.

Fig. 1 Elementos de un péndulo compuesto.

Para generar el modelo que describa el movimiento del péndulo compuesto, primero se efectuará la parametrización de las variables que nos permitirán definir las ecuaciones deseadas. Considerando la siguiente figura:

Fig. 2 Parámetros del péndulo compuesto.

Donde:	Dp	Es la distancia del extremo superior de placa al eje de giro (Pivote) [m].
	Lp	Es el largo de la placa [m].
	Ap	Es el ancho de la placa [m].
	r	Es el radio del disco [m].
	Xd	Es la distancia del eje de giro al centro de gravedad del disco [m].
	Xp	Es la distancia del eje de giro al centro de gravedad de la placa [m].
	Xpc	Es la distancia del eje de giro al centro de gravedad del péndulo [m].
	Θ₀	Es el ángulo máximo del péndulo [rad].

Análisis energético.

Fig.3 Movimiento pendular.

Consideraciones:

· La masa del péndulo se ubica en un punto (centro de gravedad).

· El péndulo se considera un cuerpo rígido.

· El péndulo tiene una inercia (Ipc).

· No hay pérdidas energéticas.

· El centro de gravedad describe una trayectoria circular.

Bajo estas consideraciones es posible plantear la ecuación de equilibrio energético con base en el principio de conservación de energía.

Energía cinética.

En general la energía cinética de un cuerpo rígido se define como:

(1)

Siendo v la velocidad lineal del centro de gravedad de péndulo, w la velocidad angular. En el caso del péndulo éste efectúa movimiento de rotación pura por lo que la ecuación anterior toma la forma:

(2)

Por lo que es necesario obtener Xpc, así como de Ipc. Para ello, se procederá a determinar la distancia y posteriormente la inercia.

(3)

Siendo m_p la masa de la placa [kg] y m_d la nada del disco [kg]. Para obtener la Inercia de la placa con respecto al eje de giro, primero se calcula la inercia de la placa con respecto a su centro de gravedad y posteriormente se traslada dicha inercia al eje de giro, aplicando el principio de los ejes paralelos o “Teorema de Steiner”.

De acuerdo a las tablas de inercia, resulta:

(4)

De forma análoga, la inercia del disco con respecto al eje de giro es:

(5)

Por lo que la suma de (4) y (5) nos permite obtener la inercia total, que representa la inercia del péndulo compuesto.

(6)

En consecuencia, la energía cinética se expresa como:

(7)

Energía potencial.

La ecuación fundamental de la energía potencial resulta ser:

(8)

Siendo m_pc = m_p+ m_d , la masa del péndulo compuesto [kg.].

Fig. 4 Movimiento pendular.

Bajo estas consideraciones, y con base en el principio de conservación de energía , al sumar ambas energías, derivando y simplificando se obtiene:

(9)

Una solución aproximada se obtiene considerando ángulos pequeños, de forma que se linealiza la ecuación asumiendo la aproximación θ ≈ seno θ. De esta forma, la solución de la ecuación (9) resulta ser:

(10)

Siendo su velocidad angular:

(11)

Y su periodo:

(12)

Que corresponde a un Movimiento Armónico Simple.

Herramienta didáctica

Fig. 5 Interfaz del Simulador de un péndulo compuesto.

Bibliografía:

[1] Universidad del País Vasco, Oscilaciones, Péndulo Compuesto: Sitio en internet: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/compuesto/compuesto.html , consulta: 04/02/2022.

[2] Fisica Recretiva, https://www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf consulta: 10/02/2022.