Péndulo simple.

 

Péndulo simple.

Definición.

El péndulo simple es una idealización que consiste en considerar que en un punto de apoyo se coloca el extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable, en el otro extremo de la cuerda se ubica un objeto de masa m, de forma que al orientar la cuerda en una dirección fuera de la vertical y al soltar el objeto se produce un movimiento pendular tipo vaivén ocasionado por el efecto gravitatorio.

 

 

 

Fig. 1 Elementos del péndulo simple.

 

 

 

Fig.2 Movimiento pendular tipo vaivén.

 

Análisis energético.

 

Fig.3 Parámetros del péndulo simple.

 

Consideraciones:

 

·      La masa del objeto se concentra en un punto (centro de gravedad).

·      El objeto se considera una partícula.

·      No hay pérdidas energéticas.

·      El centro de gravedad describe una trayectoria circular.

 

Bajo estas consideraciones es posible plantear la ecuación de equilibrio energético con base en el principio de conservación de energía.

 

Energía cinética (Ec).

Es la energía mecánica derivada del movimiento de la partícula, tomando como base la velocidad lineal de la partícula (v), considerando que la cuerda tiene una longitud r, su ecuación fundamental es:

 

                                                                 (1)

 

Energía potencia (Ep).

Es la energía mecánica derivada por la altura potencial de un objeto, ocasionada por el efecto gravitatorio. Para el caso del péndulo simple, se considera la altura medida con respecto al punto más bajo de la partícula (posición vertical de la cuerda).

 

La ecuación fundamental de la energía potencial resulta ser:

 

                  (2)

 

Donde:

m - es la masa de la partícula [kg].

r - la longitud de la cuerda [m].

θ - el ángulo del péndulo con respecto a la vertical [rad].

 

Fig. 4 Altura potencial del péndulo.

 

De esta forma, la energía total (Et) del movimiento pendular está dada por la expresión:

                                        (3)

Derivando esta expresión y simplificando se obtiene:

 

                                                                    (4)

 

La solución de esta ecuación diferencial no lineal de segundo orden no se puede resolver en términos de funciones elementales. Una solución aproximada se obtiene considerando ángulos pequeños, de forma que se linealiza la ecuación asumiendo la aproximación θ ≈ seno θ. De esta forma, la solución de la ecuación (4) resulta ser:

 

                                                                      (5)

 Siendo su velocidad angular:

                                                                                                 (6)

y su periodo:

                                                                        (7)

 

Que corresponde a un Movimiento Armónico Simple.